Calculadora de matrizes
Sistema para calcular equações de matrizes
Defina as matrizes
=
X
Resultados
Sem resultados aqui por enquanto
Métodos
- DET() - Cálcula o determinante
- TRANS() - Cálcula a matriz transposta
- INV() - Cálcula a matriz inversa
- ADJ() - Cálcula a matriz adjunta
Mais detalhes
Esta calculadora de matrizes é uma ferramenta útil para realizar operações com matrizes, como adição, subtração, multiplicação, transposição e cálculo de determinantes. Ela permite que você defina matrizes de diferentes tamanhos e execute cálculos complexos de forma rápida e eficiente.
Ela é super útil para muitos casos de uso, desde a verificação de contas até cálculos complexos de matrizes.
Porém, talvez você se pergunte: "Como posso usar este sistema?"
Como usar
- Defina as matrizes na seção "Defina as matrizes". Para fazer isso, coloque o nome da matriz antes do sinal de igual, defina a ordem da matriz na parte inferior e defina os valores de cada posição da matriz à direita do sinal de igual.
- Faça a operação matricial no campo "Digite sua expressão". Você pode fazer múltiplos tipos de cálculos; veja na seção posterior mais sobre as operações possíveis.
- Clique em "Ver resultados" e veja o resultado da operação na seção "Resultados".
Operações possíveis
- Soma: operações possíveis apenas entre matrizes de mesma ordem. Exemplo: A+B, A+A, A+B+C.
- Subtração: operações possíveis apenas entre matrizes de mesma ordem. Exemplo: A-B, A-A, A-B-C, A-B+C.
- Multiplicação entre matrizes: operações possíveis apenas quando a quantidade de colunas do primeiro termo é igual ao número de linhas do segundo. Exemplo: A*B, B*A, A*B*C.
- Multiplicação entre matriz e número escalar (real). Exemplo: A*2, 3*B, C*4, A*B*2.
- Matriz elevada a número real: Exemplo: A^2, B^3, C^4.
- Transposição: os valores da linha tornam-se os valores da coluna e vice-versa. Para calcular, coloque assim, por exemplo: TRANS(A), para calcular a transposta de A.
- Determinante: possível apenas para matrizes quadradas (mesmo número de linhas e colunas). Para calcular, use a função DET(A), sendo A o nome da matriz.
- Matriz adjunta: para calcular a matriz adjunta de A, use a função ADJ(A).
- Matriz inversa: possível apenas para matrizes quadradas. Para calcular, use a função INV(A), sendo A o nome da matriz.
Você pode fazer múltiplas operações, por exemplo: A+B+C*2+DET(A)*3. Ou seja, você pode fazer operações de soma, subtração, multiplicação entre matrizes e números reais, transposição, determinante, matriz adjunta e matriz inversa.
Entenda o termo "ordem": no sentido das matrizes, a ordem é o número de linhas pelo número de colunas, representado assim: número de linhas x número de colunas. Em livros, podemos ver i x j, m x n, e assim por diante.
Como são realizados os cálculos
Os cálculos são feitos usando técnicas que os humanos também usam. Veja aqui uma explicação simplificada de cada caso:
Soma e subtração
A soma (ou subtração) das matrizes é feita a partir da soma (ou subtração) de cada elemento da matriz com seu respectivo elemento na outra matriz.
Por exemplo, se temos as matrizes A e B:
Sendo A, por exemplo:
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
E B, por exemplo:
| 1 | 1 |
| 1 | 1 |
A+B vai ser
| 1+1 | 0+1 |
| 0+1 | 1+1 |
Portanto, o resultado será:
| 2 | 1 |
| 1 | 2 |
Caso queira aprender mais sobre o assunto, aqui temos um vídeo do youtuber DicasdeMat Sandro Curió, explicando sobre o assunto:
Multiplicação entre matrizes
A multiplicação de matrizes compreende os seguintes passos:
- Verifique se o número de linhas do primeiro termo é igual ao número de colunas do segundo termo. Se for, continue; senão, informe na resposta que a multiplicação é impossível.
- Multiplique as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz, somando os produtos correspondentes.
- O resultado será uma nova matriz, cujas dimensões são o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz.
Perceba que, diferente de quando eram números reais, na multiplicação de matrizes a ordem importa.
Por exemplo, se temos as matrizes A e B:
Sendo A, por exemplo:
| 3 | 4 |
| 21 | 2 |
E B, por exemplo:
| 5 | 10 |
| 2 | 3 |
A*B vai ser
| 3*5 + 4*2 | 3*10 + 4*3 |
| 21*5 + 2*2 | 21*10 + 2*3 |
E o resultado será:
| 23 | 42 |
| 109 | 216 |
Caso queira se aprofundar ainda mais em "Multiplicação de matrizes", você pode ver este vídeo do Sandro Curió aqui:
Multiplicação por um número escalar (real)
Todos os valores da matriz são multiplicados pelo valor real.
Por exemplo, considerando a matriz A:
| 1 | 2 |
| 3 | 4 |
Se quisermos multiplicar a matriz A por um escalar k, por exemplo 2, teremos:
| 2*1 | 2*2 |
| 2*3 | 2*4 |
Matriz elevada a número real
A matriz é multiplicada a quantidade de vezes indicada pelo número real.
Por exemplo, se temos a matriz A:
| 1 | 2 |
| 3 | 4 |
E queremos A³
Então o valor será A*A*A.
E usando os conhecimentos anteriores, para calcular, precisamos primeiro calcular (A*A) e depois multiplicar por A, e este será o resultado.
Matriz Transposta
A matriz transposta é a troca das linhas pelas colunas.
Portanto se temos a seguinte matriz:
| 1 | 2 |
| 3 | 4 |
O resultado será:
| 1 | 3 |
| 2 | 4 |
Determinante de uma matriz
Calculado apenas para matrizes quadradas.
Quando a ordem é 1, o determinante é exatamente o único número da posição ij (1,1).
Quando a ordem é 2, o determinante é calculado como dp - ds, sendo dp a multiplicação dos elementos da diagonal principal e ds a da diagonal secundária.
Já para matrizes com ordem maior que 2, existem vários métodos para calcular. Um dos mais famosos é o Teorema de Laplace, que consiste em escolher uma fila (linha ou coluna) e multiplicar cada elemento da fila pelo seu cofator, somando-se depois os resultados de cada elemento da fila.
Veja o vídeo a seguir para entender mais sobre o assunto:
Matriz adjunta
É a matriz transposta da matriz de cofatores da matriz original.
A matriz de cofatores é obtida quando todos os valores da matriz são substituídos pelo seu respectivo cofator. O cofator de um elemento é o determinante da submatriz (menor complementar) formada pela remoção da linha e da coluna desse elemento, multiplicado por (-1) elevado à soma da linha e da coluna do elemento.
Por exemplo, dada uma matriz A:
| 1 | 2 |
| 3 | 4 |
A matriz de cofatores será:
| 4 | -3 |
| -2 | 1 |
Portanto a matriz adjunta será:
| 4 | -2 |
| -3 | 1 |
Matriz inversa
A matriz inversa é a matriz que, quando multiplicada pela matriz original, resulta na matriz identidade.
Para calcular a matriz inversa, ela primeiramente deve ser quadrada, ou seja, ter o mesmo número de linhas e colunas.
O resultado da matriz inversa será a matriz adjunta multiplicada por 1 dividido pelo seu determinante.
Portanto, se o determinante for 0, a matriz também não terá inversa.